解答編ー♪

問題
縦の長さが８、横の長さが７の長方形の中に、５つの合同な正方形が図のように詰め込まれている。正方形の一辺の長さを求めよ。 （０１数オリ予選） 

解答編




求めるのは正方形の一辺なので
それをXとしておきます。

解き方の方針としては、どうにかして

このXを使って、長辺か短辺を表して

方程式を立てて、それを解くってのが大まかな方針に見えます。

（2つヒント（長辺と短辺）があるので

　二元一次連立方程式になりそう感マックスです。）

（とはいえ、そんな簡単に解けそうもないし傾いてるので

　三角関数か三平方の定義ぐらいなら

　使いそうであるとも予測が立てれます。）

ちょっと見やすいように

90度回転させます。

長辺（長さ8）が下側になるように回転しました。

この一番下の赤いラインに注目してみましょう。

（わかる人はこの時点で正射影だ！と思ってみてください）

このように、赤ライン上の正方形の頂点から

下側の長辺へ補助線を書きます。

ここで、もう少し細かく見てみましょう。

補助線を垂直に降ろすと、

赤色と青色の長さに分けることが出来ます。

イメージ的な話をすると、

この赤色とか青色っていうのは、

正方形の斜めの辺に上からスポットライトを

当てて出来た影の長さですよね。

この正方形と補助線、赤色、青色を組合すと

こんな感じで長辺（長さ8）を色で分類できました。

次にこの緑色の辺に注目して補助線を引きます。

先ほどと同様に短編の方にも補助線を落として

色分類してみると、このようになります。

元の図形のように回転させるとこんな感じです。

ここで赤と青に基づいて、

関係式を書いてみます。

このような、二元一次連立方程式になり、

A（赤色）とB（青色）の長さが求められました。

ここで一息をつきたいところなんですが、

求めたいのは、この正方形の一辺の長さXでした。

赤色と青色の長さがわかった今、

それらを使ってXを表せる場所を探してみましょう。

 このように、傾いた正方形の一辺を

斜辺とする三角形が見つかりました。

偶然にも、他の辺もAとBで表せているので

どうにかXを求めれそうです。

この三角形は直角三角形ですので、

三平方の定理が成り立ちます。

ということで、答えは、√5でした！

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ではでは！

ﾉｼﾉｼ

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