(-1)×(-1) = 1 の証明

定義

交換法則

a + b = b + a, a × b = b × a

分配法則

(a + b) ×c = a × c + b × c

なんとかの法則

a = b ならば a + c = b + c

以上が3つは成り立つとする。

0の定義

0とは任意の数a に足すとaになる”もの”。

a + 0 = 0 + a = a

0とは任意の数a に掛けると0になる”もの”。

a × 0 = 0 × a = 0

1の定義

1とは任意の数aに掛けるとaになる”もの”。

a × 1 = 1 × a = a

-（マイナス）の定義

任意の数aと足すと0になる”もの”を-aとする。

マイナスの定義より 1+(-1)=0

両辺に(-1)を掛ける {1+(-1)}×(-1) = 0 * (-1)

（右辺）0の定義より　{1+(-1)}×(-1) = 0

（左辺）分配法則より　1×(-1)+(-1)×(-1) = 0

（左辺）1の定義より  -1 +  (-1)×(-1) = 0

なんとかの法則より両辺に1を足して　-1 +  (-1)×(-1) + 1 = 0 + 1

（左辺）少し整理して 1 + (-1) + (-1)×(-1) = 0 + 1

（右辺）0の定義より　1 + (-1) + (-1)×(-1) = 1

（左辺）マイナスの定義より　0 + (-1)×(-1) = 1

（左辺）0の定義より　 (-1)×(-1) = 1

よって(-1)×(-1) = 1が証明された。

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